lunes, 30 de marzo de 2009

TOPOLOGIA

Hablar de toplogia implica el estuid de dos areas entre estas las matematicas y la informatica

TOPOLOGIA EN LAS MATEMATICAS

Qué es la Topología?

La topología es probablemente la más joven de las ramas clásicas de las matemáticas. En contrastecon el álgebra, la geometría y la teoría de los números, cuyas genealogías datan de tiemposantiguos, la topología aparece en el siglo diecisiete, con el nombre de analysis situs, éstoes, análisis de la posición.De manera informal, la topología se ocupa de aquellas propiedades de las figuras que permaneceninvariantes, cuando dichas figuras son plegadas, dilatadas, contraídas o deformadas, demodo que no aparezcan nuevos puntos, o se hagan coincidir puntos diferentes.

Para el topólogo un círculo es equivalente a una elipse; una bola no se distingue de un cubo: se dice que la bolay el cubo son objetos topológicamente equivalentes, porque se pasa de uno al otro medianteuna transformación continua y reversible.
El objetivo de este texto es indicar algunos de los problemas que estudia la topología y lanoción de invarianza topológica. Tras una breve revisión histórica de los hechos cruciales enla evolución de la topología, se estudian de manera muy intuitiva tres teorías topológicas:
  • la teoría de grafos, insistiendo en dos ejemplos clásicos, el problema de los siete puentes deKönisberg y, el teorema de los cuatro colores que parecen un juego de niños, pero que involucranen su resolución complicadas teorías matemáticas
  • la teoría de nudos, con sorprendentes aplicaciones en Biología Molecular, Física,...
  • la teoría de superficies, apartado desarrollado con más rigor matemático que los anteriores:se trata aquí de clasificar todas las superficies compactas... y clasificar es el objeto centralde la Topología

1. La teoria de grafos: El estudio de grafos está ligado habitualmente a la topología. Un grafo es sencillamente unconjunto de puntos, los vértices, algunos de los cuales están ligados entre ellos por medio delíneas, las aristas. La naturaleza geométrica de estos arcos no tiene importancia, sólo cuentala manera en la que los vértices están conectados.


1.1 El problema de los siete puentes de Konisberg: En 1700, los habitantes de Könisberg (hoy en día Kaliningrado, Rusia), se preguntaban si eraposible recorrer esta ciudad pasando una vez y sólo una por cada uno de los puentes sobre elrío Pregel, y volviendo al punto de partida. En aquella época, Könisberg tenía siete puentes (a,b, c, d, e, f y g en la figura) uniendo las cuatro partes de la ciudad (A, B, C y D) separadas porlas aguas, y dispuestas como se indica:

En 1736 Euler probó que la respuesta era negativa, usando un grafo: se dibujan sobre una hojade papel cuatro vértices que simbollzan las cuatro partes separadas de la ciudad, después setrazan entre estos vértices las aristas, simbolizando los puentes:Un grafo se llama conexo si existe un camino ligando cada par de vértices. Un camino sobreun grafo se llama euleriano, si pasa por cada arista exactamente una vez. Un circuito es uncamino cerrado. El grado de un vértice es el número de aristas que llegan al él.

Teniendo encuenta estas definiciones, Euler demuestra:Teorema de Euler. Existe un circuito euleriano en un grafo si y sólo si el grafo es conexo y cadavértice tiene grado par.Es bastante fácil comprender ahora la razón por la que el problema de los siete puentes deKönisberg no tiene solución: un paseante que llega a uno de los cuatro barrios de la ciudaddebe forzosamente irse y tomando un puente diferente. En el grafo, ésto se traduce por elhecho de que cada vértice debe estar asociado a un número par de aristas. Pero, la configuraciónde los puentes de Könisberg no verifica obviamente esta condición, probada por Eulercomo necesaria y suficiente.


1.2 El teorema de los cuatro colores F. Guthrie (1831-1899) plantea en 1852 la siguiente conjetura: para colorear cualquier mapageopolítico plano (suponiendo cada país formado por un único trozo), de tal modo que dospaíses con frontera común sean de distinto color, basta (como máximo) con cuatro colores.


2. La teoria de nudos: La técnica de tejido, que precisa cruces y anudados de hilos, se conoce ya en el neolítico. .. En la época actual, los marinos se han apropiado de esta técnica, esencial parasu trabajo.


Los nudos están presentes en ámbitos tan dispares como la decoración, la industria textil, lamagia, el alpinismo o la cirugía. Su estudio matemático permite en la actualidad ver su relacióncon la física, la química o la biología molecular.


Para el matemático, un nudo es una curva continua, cerrada y sin puntos dobles. Esta curvaestá situada en un espacio de dimensión tres y se admite que pueda ser deformada, estirada,comprimida, pero está prohibido hacer cortes. Cuando se puede, a través de manipulacionesde este tipo (es decir, por medio un homeomorfismo) pasar de un nudo a otro, se dice que sonequivalentes. En general, es muy difícil decidir cuando dos nudos son equivalentes, y granparte de la teoría de nudos está precisamente dedicada a intentar resolver esa cuestión.


2.1 Aplicaciones en biologia molecular: El ADN, el material genético más importante en la mayoría de los organismos, se ve habitualmentecomo una doble hélice, en la que dos cadenas de nucleótidos complementarios seenrollan a lo largo de un eje común. El eje de esta hélice doble no es lineal, sino curvo.


2.2 Otras aplicaciones en Ciencia: Estudios recientes de las ecuaciones que determinan flujos (como el de la atmósfera alrededorde nuestro planeta) muestran como las partículas pueden moverse en complicados caminosde nudos.Combinando la teoría de nudos con la teoría física de cuerdas, se ha podido dar una descripciónunificada de las cuatro fuerzas fundamentales de la naturaleza: gravedad, electromagnetismo,y las interacciones fuertes y débiles entre partículas.


3. Clasificacion topologica de superficies compactas: Los topólogos están particularmente interesados en el estudio de variedades, nombre quesugiere multiplicidad de formas. Un balón de fútbol, por ejemplo, es una variedad de dimensión2, es topológicamente una esfera S2: lo podemos manipular como queramos, pero sinromperlo, y seguirá siendo un balón de fútbol.Una superficie topológica es una variedad de dimensión 2, es decir, un espacio en el que cada punto posee un entorno homeomorfo a B2 = {(x,y) e R2 : x2 + y2 <>

LA TOPOLOGIA EN LA INFORMATICA

Concepto del término topologias en el area de la informatica : La topología hace referencia alas redes y la forma en que estan conectados entre si los equipos atravez de líneas de comunicación (cables de red, etc.) y elementos de hardware (adaptadores de red y otros equipos que garantizan que los datos viajen correctamente.


La configuración física, es decir la configuración espacial de la red, se denomina topología física. Los diferentes tipos de topología son:

  • Topología de bus
  • Topología de estrella.
  • Topología en anillo
  • Topología de árbol
  • Topología de malla


La topología lógica, a diferencia de la topología física, es la manera en que los datos viajan por las líneas de comunicación. Las topologías lógicas más comunes son Ethernet, Red en anillo y FDDI.


Topología de bus
La topología de bus es la manera más simple en la que se puede organizar una red. En la topología de bus, todos los equipos están conectados a la misma línea de transmisión mediante un cable, generalmente coaxial. La palabra "bus" hace referencia a la línea física que une todos los equipos de la red.


Ventajas: La topología Bus requiere de menor cantidad de cables para una mayor topología; otra de las ventajas de esta topologia es que una falla en una estación en particular no incapacitara el resto de la red.

Desventajas: al existir un solo canal de comunicación entre las estaciones de la red, si falla el canal o una estación, las restantes quedan incomunicadas. Algunos fabricantes resuelven este problema poniendo un bus pararelo alternativo, para casos de fallos o usando algoritmos para aislar las componentes defectuosas.

La ventaja de esta topología es su facilidad de implementación y funcionamiento. Sin embargo, esta topología es altamente vulnerable, ya que si una de las conexiones es defectuosa, esto afecta a toda la red


Existen dos mecanismos para la resolución de conflictos en la transmisión de datos:
CSMA/CD: son redes con escucha de colisiones. Todas las estaciones son consideradas igual, por ello compiten por el uso del canal, cada vez que una de ellas desea transmitir debe escuchar el canal, si alguien está transmitiendo espera a que termine, caso contrario transmite y se queda escuchando posibles colisiones, en este último espera un intervalo de tiempo y reintenta nuevamente.
Token Bus: Se usa un token (una trama de datos) que pasa de estación en estación en forma cíclica, es decir forma un anillo lógico. Cuando una estación tiene el token, tiene el derecho exclusivo del bus para transmitir o recibir datos por un tiempo determinado y luego pasa el token a otra estación, previamente designada. Las otras estaciones no pueden transmitir sin el token, sólo pueden escuchar y esperar su turno. Esto soluciona el problema de colisiones que tiene el mecanismo anterior.


Token Ring: La estación se conecta al anillo por una unidad de interfaz (RIU), cada RIU es responsable de controlar el paso de los datos por ella, así como de regenerar la transmisión y pasarla a la estación siguiente. Si la dirección de la cabecera de una determinada transmisión indica que los datos son para una estación en concreto, la unidad de interfaz los copia y pasa la información a la estación de trabajo conectada a la misma


Topología de estrella
En la topología de estrella, los equipos de la red están conectados a un hardware denominado concentrador. Es una caja que contiene un cierto número de sockets a los cuales se pueden conectar los cables de los equipos. Su función es garantizar la comunicación entre esos sockets.

A diferencia de las redes construidas con la topología de bus, las redes que usan la topología de estrella son mucho menos vulnerables, ya que se puede eliminar una de las conexiones fácilmente desconectándola del concentrador sin paralizar el resto de la red. El punto crítico en esta red es el concentrador, ya que la ausencia del mismo imposibilita la comunicación entre los equipos de la red.
Sin embargo, una red con topología de estrella es más cara que una red con topología de bus, dado que se necesita hardware adicional (el concentrador).


Topología en anillo
En una red con topología en anillo, los equipos se comunican por turnos y se crea un bucle de equipos en el cual cada uno "tiene su turno para hablar" después del otro.

En realidad, las redes con topología en anillo no están conectadas en bucles. Están conectadas a un distribuidor (denominado MAU, Unidad de acceso multiestación) que administra la comunicación entre los equipos conectados a él, lo que le da tiempo a cada uno para "hablar".

Las dos topologías lógicas principales que usan esta topología física son la red en anillo y la FDDI (interfaz de datos distribuidos por fibra).